algebraische Gleichung

algebraische Gleichung,

 

allgemein jede Gleichung der Form f (z₁, z₂,. .., z_n) = 0, in der f ein Polynom, im weiteren Sinn eine ganzrationale Funktion von n reellen oder komplexen Variablen z₁, z₂,. .., z _n ist und die Koeffizienten des Polynoms oder der ganzrationalen Funktion Elemente eines vorgegebenen Körpers K sind. Der Grad der algebraischen Gleichung ist dabei gleich dem Grad des Polynoms. Die Lösbarkeit einer solchen algebraischen Gleichung hängt davon ab, welchem Zahlenkörper die zulässigen Lösungen (n -Tupel von Zahlen) angehören dürfen. Sind nur Lösungen aus der Menge ℝ der reellen Zahlen zugelassen, so ist nicht jede algebraische Gleichung lösbar. Durch algebraische Körpererweiterung (Körper) lässt sich aber jede algebraische Gleichung lösen (z. B. im Körper C der komplexen Zahlen). Einfache Beispiele für algebraische Gleichungen sind die in den kartesischen Koordinaten x, y der Ebene linearen Gleichungen ax + by + c = 0 und die quadratischen Gleichungen ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0, die dort Geraden beziehungsweise reelle Kegelschnitte festlegen, sowie die zu algebraischen Flächen führenden Gleichungen.

 

Im Fall einer unabhängigen Variablen x bezeichnet man im engeren Sinn als algebraische Gleichung jede Gleichung der Form

 

wobei die Koeffizienten a₀, a₁,. .., a_n zumeist reelle Zahlen sind und a_n ≠ 0 vorausgesetzt wird, sodass n den Grad dieser algebraischen Gleichung beziehungsweise des Polynoms P_n (x) angibt; einige der übrigen Koeffizienten können dabei gleich null sein. Nicht jede algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat reelle Zahlen als Lösungen; z. B. hat das Polynom P₂ (x) = x² + 1 keine Nullstelle auf der reellen Achse und damit die Gleichung P₂ (x) = x² + 1 = 0 keine reelle Lösung. Gibt es aber für eine solche algebraische Gleichung eine reelle Lösung x₁, so lässt sich stets eine Zerlegung P_n (x) = (x — x₁) Q (x) beziehungsweise P_n (x) = (x — x₁)^r Q (x) bei einer r -fachen Lösung x₁ vornehmen, worin Q (x) ein Polynom vom Grad n — 1 beziehungsweise n — r ist (r Vielfachheit der Lösung x₁). Gibt es keine oder nur einige reelle Lösungen, so sind alle Lösungen beziehungsweise die übrigen Lösungen im Körper C der komplexen Zahlen zu finden, denn es gilt der Fundamental- oder Hauptsatz der Algebra: Jede algebraische Gleichung n -ten Grades P_n (x) = 0 mit komplexen Koeffizienten hat in C genau n Lösungen x₁, x₂,. .., x_n, wenn man jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit zählt. Es gilt die Zerlegung in Linearfaktoren: P_n (x) = (x — x₁) (x — x₂ ) ··· (x — x_n), woraus durch Ausmultiplizieren die vietaschen Wurzelsätze als Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen folgen. Die Lösung einer algebraischen Gleichung erhält man für die Grade n = 2, 3 und 4 durch Ziehen der Wurzeln des betreffenden Grades (cardanische Formeln); daher bezeichnet man auch allgemein die Lösungen einer algebraischen Gleichung als ihre Wurzeln. Für n > 4 sind nach einem Satz von N. H. Abel die algebraischen Gleichungen nicht mehr durch allgemein gültige Wurzelausdrücke auflösbar (Algebra, Galois-Theorie).